Дания Рудакова
Исследовательская работа «Загадочная лента Мёбиуса»
Исследовательская работа «Загадочная лента Мёбиуса»
Введение
Я очень люблю делать подделки из цветной бумаги и вот однажды, по невнимательности, я перекрутила концы у полоски бумаги и склеила их. Я очень расстроилась, а папа сказал: «Так это же лента Мебиуса! У меня возник вопрос: что такое – лента Мебиуса? И чем больше я про нее узнавала, тем интереснее мне становилось. Так я решила провести своё исследование.
Цель работы: исследовать ленту Мебиуса и ёё свойства.
Объект исследования: лента Мебиуса.
Предмет исследования: свойства ленты Мебиуса.
Для достижения цели я поставила перед собой следующие задачи:
познакомиться с биографией Августа Мёбиуса, с историей появления ленты;
изготовить ленту Мёбиуса;
исследовать свойства при помощи экспериментов;
узнать область применения ленты Мёбиуса.
В своей работе я использовала следующие методы исследования
анализ литературы по теме;
сравнение;
обобщение;
моделирование;
эксперименты.
Мною была выдвинута гипотеза: предположим, что Лента Мебиуса,
обладая различными свойствами, может найти своё применение в жизни каждого человека.
Лента Мёбиуса – бумажная лента, повёрнутая одним концом на пол- оборота (то есть 180 градусов) и склеенная с его другим концом. Миллионы людей во всех частях света даже не подозревают, что они каждый день используют ленту Мёбиуса.
1. 1. Историческая справка
Таинственную и знаменитую ленту Мёбиуса придумал в 1858 году немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус. Рассказывают, что открыть свою “ленту” Мёбиусу помогла служанка, сшившая неправильно концы длинной ленты. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал её результаты.
Одновременно с Мёбиусом изобрёл эту ленту и другой ученик К. Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году. А. Ф. Мёбиус родился в городе Шульпфорте. Некоторое время под руководством К. Гаусса изучал астрономию. Начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818г. стал её директором. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. Став профессором Лейпцигского университета, с 1816 года Мёбиус впервые ввёл проективную геометрию, систему координат и аналитические методы исследования; установил существование односторонних поверхностей (листов Мёбиуса)
1.2. Изготовление ленты Мёбиуса
Лента Мёбиуса относится к числу математических неожиданностей. Чтобы изготовить её, возьмём прямоугольную полоску перекрутим её на 180 градусов и склеим противоположные стороны
Формы и размеры бумажной полоски для листа Мёбиуса.
Полоска должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к ширине. Из квадратного листа ленты Мёбиуса не сделаешь. Это верно, но нельзя недооценивать тот факт, что ограничения на размер имеют значения в том случае, когда бумагу запрещается мять. Если же мять бумагу не запрещается, то лист Мёбиуса можно склеить не только из квадрата, но из прямоугольника любых размеров – склеиваемые стороны могут быть даже во сколько угодно раз длиннее не склеиваемых.
Раз требование не мять бумагу важно, посмотрим, каков его математический смысл.
Легко понять, что запрещение мять бумагу значительно ограничивает
возможность манипулировать бумажным листом. Например, лист бумаги, не помяв, можно свернуть в трубку или сложить без складки пополам, но нельзя сложить вчетверо. Из листа бумаги, не смяв его, можно сделать конус, но нельзя сделать сферу или даже её кусочек: прижмите лист бумаги к глобусу, и обязательно появятся складки. Как видно, листу бумаги можно придать далеко не всякую форму.
2. Практическая часть
2.1. Эксперименты с лентой Мебиуса.
У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое «поверхность». Поверхность листа бумаги, поверхность стен дома, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что - нибудь таинственное в таком обычном понятии? Да, может, примером является лист Мёбиуса. Чтобы изучить его свойства, я провела несколько экспериментов
1 эксперимент: Закрасим непрерывной линией только один край колец. Обычное кольцо один край кольца закрашен, второй край нет. Лента Мебиуса линия края получилась непрерывно закрашена на всем кольце.
Вывод: лента имеет один край.
2 эксперимент: На внутреннюю сторону обычного кольца поставим лего- человечка, а нанаружную слоника. Разрешим им бегать как угодно, запретив перелезать через края кольца. Обычное кольцо – они никогда не встретятся, не пересекая края. Лента Мебиуса рыцарь и слоник встретятся.
Вывод: Лента Мебиуса имеет только одну поверхность.
3 эксперимент: Разрежем кольца пополам вдоль. Обычное кольцо распадется на два кольца, меньших по ширине. Лента Мебиуса сформируется в одно кольцо в виде восьмёрки. Вывод: лента Мебиуса бесконечна.
4 эксперимент: Склеим ленту из квадрата или из прямоугольника, у которого стороны приблизительно равны, не сминая бумаги. Обычное кольцо получится «труба», а Ленту Мебиуса сделать невозможно, не сминая бумаги.
Вывод: лента Мебиуса получится из прямоугольника, у которого длина намного больше ширины.
Проведя эксперименты, я узнала о свойствах Ленты Мебиуса:
1. Односторонность (лента имеет одну поверхность и один край);
2. Непрерывность (два объекта могут встретится не переползая края ленты);
3. Связность (если разрезать кольцо вдоль, она не распадется на две части).
Меня так увлекла эта тема, что я решила поделиться со своими одногрупниками.
Но для начала я провёла опрос. В нем приняли участие 27 ребят.
Я спрашивала, что такое лента Мебиуса, сколько у нее сторон, где применяются ее свойства и можно ли встретить ее в обычной жизни.
По результатам опроса я выяснила, что большинству ребят не знакома лента Мёбиуса, они уверены, что встретить его в обычной жизни невозможно, а это подтверждает то, что моя тема очень актуальна. Ведь простой лист, с одной стороны перевернутый на 180 градусов, несет в себе множество свойств, тайн.
После того, как я рассказала ребятам о ленте Мёбиусе, я провёла мастер-класс, где мы сначала изготовили ленту Мёбиуса, а затем сделали новогодние
украшения для нашей группы
2.2. Применение ленты Мёбиуса
Благодаря ленте Мебиуса возникло множество самых разнообразных изобретений. У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. – своеобразный памятник немецкому математику Августу Фердинанду Мёбиусу.
Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе, которых лежит всё та же односторонняя поверхность.
Лист Мёбиуса используется во многих изобретениях, навеянных тщательным изучением свойств односторонней поверхности. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде листа Мёбиуса, позволяет ему работать дольше в два раза, потому что вся поверхность листа равномерно изнашивается. В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек сразу с двух сторон. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты в два раза и соответственно время звучания. В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Это даёт ощутимую экономию.
Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни. В Москве в сентябре 2006 года состоялся Фестиваль художественной математики. С большим успехом было принято выступление профессора из г. Токио Джина Акияма. Его представление напоминало шоу иллюзиониста, где было место и ленте Мёбиуса.
Компания Bugatti начала выпуск духов. каждый флакончик, сделанный из хрусталя и покрытый настоящим золотом выполнен в виде необычного листа Мёбиуса, который имеет лишь одну сторону. Цена духов Bugatti составляет 3500 евро.
Стол с одной поверхностью, за которым можно стоять, сидеть и на котором можно удобно лежать.
Диван Мёбиуса
Родившееся под девизом "Двойное кресло - двойное удовольствие",кресло диван Moebius Double Armchair создано дизайнером Gaеtan Vande Wyer из Бельгии и несет в себе свежее видение мебели для влюбленных.
Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса. Перерабо тка (другие термины: вторичная переработка, рециклинг отходов, рециклирование и утилизация отходов) — повторное использование или возвращение в оборот отходов производства или мусора. Наиболее распространена вторичная, третичная и т. д. переработка в том или ином масштабе таких материалов, как стекло, бумага, алюминий, асфальт, железо, ткани и различные виды пластика. Также с глубокой древности используются в сельском хозяйстве органические сельскохозяйственные и бытовые отходы.
Созданная в 2003 году архитектором Рэм Ди Колхаазом и обувщиком Галахадом Кларком компания United Nude специализируется на выпуске инновационной дизайнерской обуви. Одной из наиболее удачных разработок компании являются туфли Mobius, названные так в честь геометра Августа Мебиуса и его идеи односторонней поверхности. Идея туфель такова: кожаный верх туфель и подошва представляют собой единую ленту, закрученную определенным образом.
Шарф Мёбиуса
Инетресная вещь шарф Мёбиуса или шарф снуд, появившийся в гардеробах 21 века. Шарф Мёбиуса можно сделать самому связав концы шарфа перекрутив на один оборот.
В настоящее время рассматривается проект постройки библиотеки в виде листа Мёбиуса в Казахстане
Изгибы здания образуют лист Мёбиуса, таким образом внутреннее пространство переходит во внешнее и обратно; подобным образом стены переходят в крышу, а крыша трансформируется обратно в стены. Естественный свет проникает во внутренние коридоры сквозь геометрические отверстия во внешней оболочке, создавая прекрасно освещённые пространства, идеальные для чтения.
Аттракцион “Американские горки” напоминает форму листа Мебиуса. В Москве находятся самые большие в мире американские горки инвертированного типа, где человек сидит в подвешенном кресле, а его ноги находятся в воздухе.
В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон.
К концу 2022г в Москве на ВДНХ завершились строительно-монтажные работы «Ленты Мёбиуса» — необычной прогулочной зоны, посвященной немецкому астроному, математику и механику Августу Фердинанду Мёбиусу. Это металлическая конструкция с 2522 фасадными кассетами, которые выполняют роль декоративных панелей. Длина пешеходной дорожки составила 322 метра, ограждений — 645, а площадь остекления равна 774 кв. метрам. Прогулочная дорожка поднимается над уровнем земли практически на семь метров. Новый объект не только разнообразит отдых горожан и путешественников, но войдет в единый комплекс «Сада пяти чувств», в котором можно будет испытать визуальные, тактильные, звуковые, ароматические и вкусовые ощущения.
Болид Мёбиуса выполнен испанским дизайнером Хорхе Марти Видала и сочетает в себе красоту и загадку ленты Мёбиуса. Уникальная форма кузова обеспечивает гоночной машине хорошую аэродинамику
Заключение
Лист Мёбиуса - первая односторонняя поверхность, которую открыл учёный. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но эта - самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по - прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, художников и обычных людей. Мне были очень интересны открытые свойства ленты Мёбиуса:
• Лист Мебиуса имеет один край, одну сторону
• Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в кулинарии, в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных изделий и бижутерии. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников.
• Лента Мебиуса вдохновляет многих художников на создание известных скульптур и картин.
В ходе исследования моя гипотеза подтвердилась. Лист Мёбиуса на самом деле интересен, таит в себе множество загадок и находит своё применение в жизни каждого человека. Работая над данной темой, я получила удовольствие от полезной и интересной информации о ленте Мёбиуса от того, что смастерила её своими руками и поделился этим с ребятами. Тема моей работы далеко не исчерпана, я обязательно продолжу своё исследование, ведь лента Мёбиуса таит в себе ещё множество загадок и тайн.
