Александр Владимирович Гришин
Процесс усвоения и роль определения понятия в начальной школе
Одно из первых математических понятий, с которым ребенок встречается в школе, - понятие о числе. Если это понятие не будет усвоено адекватно, у обучаемых возникнут серьезные трудности при дальнейшем движении в системе счисления, в том числе и в понимании самого понятия система счисления.
С самого начала встреча с понятиями происходит у учащихся при изучении и других математических дисциплин. Так, начиная изучать геометрию, учащиеся сразу же встречается с понятиями точка, линия, угол, а далее - с целой системой понятий, связанных с видами геометрических объектов (линий, углов, треугольников и др.).
Публикация «Процесс усвоения и роль определения понятия в начальной школе» размещена в разделах
Задача учителя - обеспечить полноценное усвоение этих понятий. Если мы обратимся к школьной практике, то увидим, что эта задача решается далеко не так успешно, как того требуют цели общеобразовательной школы.
Главный недостаток школьного усвоения понятий - формализм. Суть его состоит в том, что учащиеся, правильно воспроизводя определение понятий, т. е. осознавая их содержание, не умеют пользоваться ими при ориентировке в предметной действительности, при решении задач на применение этих понятий. Проанализируем несколько типичных примеров, которые мы упоминали ранее.
Учащиеся только что изучили понятие об окружности. Они легко и правильно воспроизводят определение окружности, указывая на то, что это замкнутая кривая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной, называемой центром. После этого учащимся предлагается изображение эллипса, внутри которого поставлена точка («центр»). Учащихся спрашивают, можно ли эту замкнутую кривую назвать окружностью. Значительная часть учащихся отвечает положительно. На вопрос, почему они считают, что эта кривая является окружностью, отвечают: «У нее тоже есть центр».
Второй пример. Учащиеся изучили прямоугольные треугольники. Они уверенно говорят о том, что треугольник называется прямоугольным, если он имеет прямой угол. Тут же им предлагается прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине. Учащиеся измеряют угол, убеждаются, что он прямой, но прямоугольным треугольником назвать его не соглашаются.
Еще один пример. Учащиеся дают правильное определение смежных углов. Они указывают, что это такие два угла, которые имеют общую вершину, общую сторону, а две другие их стороны продолжают друг друга. Учащиеся правильно изображают смежные углы на доске, узнают их среди множества предъявленных. Как будто бы все в порядке. Но вот учащимся дают задачу: «Даны два угла с общей вершиной. Сумма этих углов равна 180°. Будут ли эти углы смежными?» Подавляющее большинство учащихся отвечают положительно. Ответ неверный. Условия этой задачи не содержат указаний на наличие у данных углов общей стороны, но в условии в то же время нет информации и о том, что общей стороны эти углы не имеют, т. е. налицо ситуация неопределенности. В самом деле, под данные условия вполне подходят не только смежные углы, но и прямые вертикальные углы общая вершина и сумма 180° имеют место. Если бы учащиеся умели использовать» содержание определения, они должны были бы дать ответ: «Неизвестно» (данные углы могут быть как смежными, так и не смежными).
Примеров неумения учащихся пользоваться понятиями при работе с реальными объектами, при анализе условии задачи можно привести очень много. И все они говорят о том, что знание определения понятия еще не говорит о том, что оно усвоено учеником по существу, а не формально.
При усвоении научных знаний учащиеся начальной школы сталкиваются с разными видами понятий. Неумение ученика дифференцировать понятия приводит к неадекватному их усвоению.
Логика в понятиях различает объем и содержание. Под объемом понимается тот класс объектов, которые относятся к этому понятию, объединяются им. Так, в объем понятия треугольник входит все множество треугольников независимо от их конкретных характеристик (видов углов, размера сторон и др.). Под содержанием понятий понимается та система существенных свойств, по которой происходит объединение данных объектов в единый класс. В понятии треугольник к таким свойствам относятся следующие: замкнутая фигура, состоит из трех отрезков прямой. Совокупность свойств, по которым объединяются объекты в единый класс, называются необходимыми и достаточными признаками. Напомним, что отношение между этими признаками в разных понятиях разное. В одних понятиях эти признаки дополняют друг друга, образуя вместе то содержание, по которому и объединяются объекты в единый класс. Примером таких понятий могут служить треугольник, угол, биссектриса и многие другие. Так, у объектов, относящихся к понятию треугольник, обязательно должны быть оба вышеуказанных признака, по отдельности ни один из них не позволяет опознать объекты этого класса. В логике понятия с такой связью признаков называются конъюнктивными: признаки связаны союзом «и» (в случае с треугольниками фигура должна быть и замкнутой, и состоять из трех отрезков прямой).
В других понятиях отношение между необходимыми и досрочными признаками другие: они не дополняют друг друга, а заменяют. Это означает, что один признак является эквивалентом другого. Примером такого вида отношений между признаками могут служить признаки равенства отрезков, углов. Известно, что к классу равных отрезков относятся такие отрезки, которые: а) или совпадают при наложении; б) или порознь равны третьему; в) или состоят из равновеликих частей и т. д.
В данном случае перечисленные признаки не требуются все одновременно, как это имеет место при конъюнктивном типе понятий; здесь достаточно какого-то одного признака из всех перечисленных: каждый из них эквивалентен любому из основных. В силу этого признаки связаны союзом «или». Такая связь признаков называется дизъюнкцией, а понятия соответственно называются дизъюнктивными.
Важно также учитывать деление понятий на абсолютные и относительные. Само название понятий говорит о специфике каждой группы. Абсолютные понятия объединяют предметы в классы по определенным признакам, характеризующим суть этих предметов как таковых. Так, в понятии угол отражены свойства, характеризующие сущность любого угла как такого. Аналогично положение со многими другими геометрическими понятиями : окружность, луч, ромб и т. д.
В случае относительных понятий объекты объединяются в классы по свойствам, характеризующим их отношение к другим объектам. Так, в понятии перпендикулярные прямые фиксируется то, что характеризует отношение двух прямых друг к другу: пересечение, образование при этом прямого угла. Аналогично в понятии число отражено отношение измеряемой величины и принятого эталона.
Опыт показывает, что относительные понятия вызывают у учащихся более серьезные трудности, чем понятия абсолютные. Суть трудностей состоит именно в том, что школьники не учитывают относительность понятий и оперируют с ними как с понятиями абсолютными. Так, когда учитель просит учеников изобразить перпендикуляр, то некоторые из их изображают вертикаль. Особое внимание следует уделить понятию число.
Число - это отношение того, что подвергается количественной оценке (длина, вес, объем и др.) к эталону, который используется для этой оценки. Очевидно, что число зависит как от измеряемой величины, так и от эталона. Чем больше измеряемая величина, тем больше будет число при одном и том же эталоне. Наоборот, чем больше будет эталон (мера, тем меньше будет число при оценке одной и той же величины. Следовательно, учащиеся с самого начала должны понять, что сравнение чисел по величине можно производить только тогда, когда за ними стоит один и тот же эталон. В самом деле, если, например, пять получено при измерении длины сантиметрами, а три - при измерении метрами, то три обозначают большую величину, чем пять. Если учащиеся не усвоят относительной природы числа, то они будут испытывать серьезные трудности и при изучении системы счисления.
Не понимая, что действия сложения, вычитания можно производить только с теми числами, за которыми стоит один и тот же эталон, они далеко не всегда, например, могут объяснить правило сложения «столбиком». Допустим, складывая единицы, ребенок получил тринадцать. Он правильно указывает, что три запишем внизу (под единицами, а один «заметим» наверху (над десятками). Однако на вопрос: «А почему так надо делать?» - ученики довольно часто отвечают: «Так учительница говорила». Они не понимают, что получившийся у них десяток - это уже приведение единиц к другой мере, в десять раз большей, и поэтому его складывать можно только с десятками. Непонимание учениками позиционного принципа системы счисления и отражения этого принципа при записи чисел ярко проявляется также при решении такой задачи: «У нас 111899 конфет. Выбери в этом числе цифру, которая обозначает в нем наибольшее количество конфет». Как правило, дети выбирают девятки. Это как раз и говорит о том, что для них число - понятие абсолютное, а не относительное.
Трудности в усвоении относительных понятий сохраняются у учащихся и в средних, и даже в старших классах школы.
Понятия выступают перед учениками как элементы социального опыта. В них зафиксированы достижения предыдущих поколений. Учащиеся должны этот социальный опыт сделать своим индивидуальным опытом, элементами своего умственного развития.
Понятие, усвоенное человеком, становится образом, но образом особым: абстрактным и обобщенным. В самом деле, человек может мыслить треугольниками, не представляя при этом никакого конкретного объекта, относящегося к этому понятию. Понятие конкретно представить в принципе невозможно: любое представление - это образ какого-то конкретного объекта, в этом образе обязательно будут содержаться существенные признаки.
Л. С. Выготский впервые ввел в психологию деление понятий на научные и ненаучные - «житейские», при этом он имел в виду не содержание усваиваемых понятий, а путь их усвоения.
Ребенок застает сложившуюся в обществе систему понятий. Усвоение этой системы всегда происходит с помощью взрослых. До систематического обучения в школе взрослые не ведут специальной работы по формированию понятий у детей. Они обычно ограничиваются лишь указанием на то, верно или неверно ребенок отнес предмет к соответствующему понятию. Вследствие этого ребенок усваивает понятия путем «проб и ошибок». При этом в одних случаях ориентировка фактически происходит по несущественным признакам, но в силу сочетания их в предметах с существенными в определенных пределах оказывается верной. В других - ориентировка происходит на существенные признаки, но они остаются неосознанными. Именно в этой неосознанности существенных признаков Л. С. Выготский и видел специфику так называемых житейских понятий. Такое усвоение понятий не отражает всех сторон специфически человеческого способа приобретения новых знаний.
Совсем другое дело, считал Л. С. Выготский, когда ребенок попадает в школу. Процесс обучения предполагает переход от стихийного хода деятельности ребенка к деятельности целенаправленной, организованной. Понятия, которые формируются у ребенка в школе, характеризуются тем, что их усвоение начинается с осознавания существенных признаков понятия, что достигается введением определения.
Именно в этой осознанности существенных признаков Л. С. Выготский и видел специфику научных понятий.
Этот путь, по его мнению, дает возможность ребенку в дальнейшем произвольно и сознательно действовать с понятием.
Большинство учащихся безошибочно воспроизводят определение понятия, т. е. обнаруживают знание его существенных признаков, но при встрече с реальными объектами опираются на случайные признаки, установленные в непосредственном опыте. И только постепенно, через ряд переходных этапов, в результате своей собственной практики учащиеся научаются ориентироваться на существенные признаки предметов.
Таким образом, словесное знание определения понятия не меняет, по существу, хода процесса усвоения этого понятия, что убедительно доказывает невозможность передачи понятия в готовом виде. Ребенок может получить его лишь в результате своей собственной деятельности, направленной не на слова, а на те предметы, понятие о которых мы хотим у него сформировать.
Знание существенных признаков понятия может изменить ход и характер познавательной деятельности только в том случае, когда эти признаки войдут в нее в качестве ориентиров, т. е. будут реально участвовать в процессе решения задач, поставленных перед ребенком. Поскольку при обычной организации учебного процесса это не обеспечивается, то со стороны познавательной деятельности учащихся усвоение житейских и научных понятий у значительной части обучаемых идет весьма сходным путем.
И главное, при школьном обучении понятия усваиваются частью учащихся на том же уровне, что и «житейские» : учащиеся практически используют существенные признаки, но не осознают их, не могут целенаправленно применять в процессе решения задач. Так, в исследовании, проведенном нами совместно с К. А. Степановой, оказалось, что среднеуспевающие учащиеся шестого класса при решении задач на подведение под начальные геометрические понятия дали 72,5% правильных ответов. Однако обоснование правильности ответа имело место только в 27,5% случаев. В исследовании В. И. Быковой отмечается, что такой уровень усвоения понятий наблюдается вплоть до восьмого-девятого классов. Следовательно, знание существенных признаков не обеспечивает сознательного использования их ри ориентировке в соответствующей действительности.
Становление понятий - это процесс формирования не только особого образа мира, но и определенной системы действий. Действия, операции и составляют собственно психологический механизм понятий. Действия выступают как ведущее звено, как средство формирования понятий. Без них понятие не может быть ни усвоено, ни применено в дальнейшем к решению задач. В силу этого особенности сформированных понятий не могут быть поняты без обращения к действиям, продуктом которых они являются.
Выбор действия определяется прежде всего целью усвоения понятия. Допустим, понятие усваивается для того, чтобы распознавать объекты, относящиеся к данному классу. В этом случае необходимо использовать действие распознавания, действие подведения под понятие. Если учащиеся не знакомы с этими действиями, то необходимо раскрыть их содержание, показать, как следует их выполнять.
Действие распознавания может быть использовано при формировании понятий с конъюнктивной структурой признаков; дизъюнктивные понятия требуют некоторого изменения в процессе распознавания объектов.
Для понятий с дизъюнктивной структурой признаков правило распознавания, как было показано, имеет такой вид:
-объект относится к данному понятию, если он обладает хотя бы одним признаком из числа альтернативных;
- если объект не обладает ни одним из этих признаков, то он не относится к данному понятию;
-если ни про один из признаков неизвестно, есть он или его нет, то неизвестно, относится или не относится этот объект к данному понятию.
Как видим, содержание действия подведения под понятие требует специального анализа, предполагает целую систему предварительных знаний и умений, причем не только из данного предмета, но и из логики.
Кроме действия распознавания можно использовать и другие, которые мы рассмотрели ранее: выведение следствий, сравнение, классификация; действия, связанные с установлением иерархических отношений внутри системы понятий, и др. Порядок формирования логических действий определяется как содержанием каждого из них, так и отношениями друг с другом.
Мы показали, что понятие не может быть передано учащимся в готовом виде, они должны получить его сами, взаимодействуя с относящимися к нему предметами. Какова же роль определения в этом процессе взаимодействия? Определение задает как бы точку зрения - ориентировочную основу - для оценки предметов, с которыми взаимодействует обучаемый. Так, получая определение угла, ученик может теперь анализировать различные предметы с точки зрения наличия или отсутствия в них признаков угла. Аналогично, имея определение окружности, учащийся может анализировать различные формы объектов с точки зрения тех признаков, которые содержатся в определении окружности. Такая реальная работа по оценке различных предметов постепенно создает в голове ученика адекватное понятие как обобщенный и абстрактный образ предметов данного класса.
Таким образом, получение определения - это не конец усвоения понятия, а лишь первый шаг на этом пути. Следующий шаг - включение определения понятия в те действия учащихся, которые они выполняют с соответствующими объектами и с помощью которых строят в своей голове понятие об этих объектах.
Следующий важный шаг состоит в том, чтобы научить школьников ориентироваться на содержание определения при выполнении различных действий с объектами. Другими словами, надо добиться того, чтобы точка зрения, предложенная учителем, была принята и реально использовалась учащимися, т. е. входила в содержание ориентировочной основы выполняемых действий. Если это не обеспечено, то в одних случаях ученики будут опираться на свойства, которые они сами выделили в объектах; в других случаях дети могут использовать только часть указанных свойств; в третьих - могут добавить к указанным в определении свои, что также приводит к ошибкам. Если вернемся к вышеприведенным примерам, то обнаружим в них все эти случаи. Так, признавая за перпендикуляр вертикаль, школьник опирается на признак, которого нет в определении перпендикулярных прямых. Относя эллипс к классу окружностей, ученик учитывает лишь часть признаков указанных в определении окружности. Аналогичное имеет место и в примере с распознаванием смежных углов. При распознавании прямоугольных треугольников ученики, наоборот, привнесли дополнительный признак: пространственное положение прямого угла. С точки зрения этих учеников прямой угол не должен быть при вершине треугольника.
Итак, главная причина формализма при усвоении понятий состоит в том, что не уделяется должного внимания организации работы учащихся с определениями понятий. Только этим можно объяснить и такой удивительный факт, что десятилетиями в некоторых учебниках геометрии давались ошибочные определения, и этого не замечали ни учителя, ни методисты, ни ученики. В качестве примера возьмем учебник А. П. Киселева. До сих пор он считается одним из лучших и время от времени раздаются призывы вернуться к работе по этому учебнику. Не подвергая сомнению качество этого учебника в целом, отметим, что и в нем содержится немало неправильных определений понятий. В самом деле, прилежащие углы определяются как два угла, имеющие общую вершину и общую сторону.
